Ανάπτυξη Υπολογιστικών Μεθόδων σε Πολυωνυμικούς Πίνακες

Abstract

Αντικείμενο της παρούσας διπλωματικής εργασίας αποτελεί η ανάπτυξη υπολογιστικών μεθόδων σε πολυωνυμικούς πίνακες με σκοπό την επίλυση προβλημάτων της θεωρίας ελέγχου. Η υπολογιστική μέθοδος υπολογισμού-παρεμβολής (evaluation - interpolation) μας δίνει τη δυνατότητα να επιλύσουμε αρκετά προβλήματα της θεωρίας ελέγχου. Το πλεονέκτημα αυτής της μεθόδου είναι η αποφυγή των αναλυτικών μεθόδων για τη λύση των αντίστοιχων προβλημάτων με τη χρήση μεθόδων της αριθμητικής ανάλυσης. Σε αρκετά προβλήματα της θεωρίας ελέγχου η λύση βρίσκεται σε ένα ή περισσότερα πολυώνυμα μίας μεταβλητής (π.χ. υπολογισμός ορίζουσας πολυωνυμικού πίνακα ή ο υπολογισμός αντίστροφου πολυωνυμικού πίνακα). Με τη μέθοδο υπολογισμού-παρεμβολής έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίσουμε τα συγκεκριμένα πολυώνυμα και όχι απλώς να βρούμε μια προσεγγιστική λύση. Στη συγκεκριμένη διπλωματική εργασία, χρησιμοποιώντας την πολυωνυμική παρεμβολή με τη μέθοδο Newton, παρουσιάζονται δύο μέθοδοι υπολογισμού ορίζουσας πολυωνυμικού πίνακα μίας μεταβλητής και προτείνεται μία τρίτη νέα μέθοδος με τη χρήση παραγώγισης. Πιο συγκεκριμένα στο πρώτο κεφάλαιο αναφέρονται εισαγωγικές έννοιες των πολυωνυμικών πινάκων και της πολυωνυμικής παρεμβολής.Στο δεύτερο κεφάλαιο περιγράφεται ο υπολογισμός ορίζουσας πολυωνυμικού πίνακα μίας μεταβλητής με την τεχνική υπολογισμού-παρεμβολής χρησιμοποιώντας τη μέθοδο παρεμβολής Newton. Στο επόμενο κεφάλαιο περιγράφεται η ίδια τεχνική, αλλά με τη χρήση μιγαδικής βάσης. Στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζεται μία νέα μέθοδος υπολογισμού ορίζουσας πολυωνυμικού πίνακα με παραγώγιση και τη χρήση της δυναμοσειράς του Taylor. Στο πέμπτο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι χρόνοι υλοποίησης των δύο πρώτων μεθόδων σε σύγκριση με την απλή συνάρτηση υπολογισμού ορίζουσας με το πρόγραμμα MATLAB. Και στο τελευταίο κεφάλαιο αναφέρονται τα συμπεράσματα που προκύπτουν από τη σύγκριση των αλγορίθμων ως προς την ευκολία και την ταχύτητα υλοποίησής τους.

The purpose of this thesis is the development of computational methods for solving problems of Control Theory. The computational method evaluation-interpolation enables us to solve several Control Theory problems. The advantage of this method is the use of numerical analysis against analytical solutions of the corresponding problems. In many Control Theory problems the solution is one or more one-variable polynomials (e.g. calculation of the determinant, calculation of the inverse o apolynomial matrix, etc.) With the method evaluation-interpolation we can compute the specific polynomials rather than just an approximate solution. In this thesis, using polynomial interpolation with Newton’s method, we present two methods for calculating the determinant of one-variable polynomial matrices and we propose a new method using derivation. More specifically, in the first chapter the basic concepts of a polynomial matrix and the polynomial interpolation are introduced. In the second chapter, we present the calculation of the determinant of polynomial matrix using the method evaluationinterpolation with Newton’s interpolation. In the next chapter, we describe the same method with the use of complex basis. In the fourth chapter we introduce a new method of calculation the determinant of a polynomial matrix using derivatives and Taylor’s Theorem. In the fifth chapter, execution times of the first two methods, with the use of MATLAB Software, are presented and finally, in the last chapter, we conclude with the comparison of all three algorithms and their execution times.