Αριθμητικές Μέθοδοι Τιμολόγησης Δικαιωμάτων Προαίρεσης

Abstract

Η τιμολόγηση των δικαιωμάτων προαίρεσης ήταν ένα πρόβλημα που απασχόλησε ευρέως την οικονομική κοινότητα από την πρώτη στιγμή της σύλληψης των συμβολαίων. Για χρόνια η τιμολόγηση τους γινόταν με εμπειρικούς τρόπους και ελλιπή μοντέλα μη ολοκληρωμένα από μαθηματικής άποψης. Η πρώτη επιτυχής μοντελοποίηση ήρθε με την δημοσίευση της εργασίας των Fisher Black και Myron Scholes το 1973 με τίτλο" The Pricing OF Options and Corporate Liabilities. Έπειτα ο Robert C. Merton ήταν ο πρώτος που δημοσίευσε μια εργασία που επέκτεινε την μαθηματική κατανόηση της τιμολόγησης των δικαιωμάτων προαίρεσης και ήταν ο πρώτος που ανέφερε τον όρο "Black-Scholes Options Pricing Model". Το 1993 ο Merton και Scholes έλαβαν το βραβείο Νόμπελ οικονομικών, την χρονιά του 1997, από τον Σουηδικό οργανισμό, για τις ανακαλύψεις τους. Ο Black αναφέρθηκε τιμητικά από την επιτροπή για τις συνεισφορές του καθώς είχε αποβιώσει νωρίτερα το 1995(Το βραβείο Νόμπελ δεν δίνεται μεταθανάτια). Η δημοσίευση της εργασίας τους οδήγησε σε ραγδαία άνοδο της αγοράς των συμβολαίων αυτών καθώς παρείχε μαθηματική "θεμελίωση και σαφήνεια στο χρηματιστήριο του Σικάγο που ήταν το πρώτο που ενέταξε το 1973 τα συμβόλαια δικαιωμάτων προαίρεσης στις δραστηριότητες του. Στόχος της πτυχιακής εργασίας είναι η επίλυση της εξίσωσης Black-Scholes με τις πιο σύγχρονες αριθμητικές μεθόδους που χρησιμοποιούνται στον πρακτικό κόσμο. Για να μπορέσει να γίνει αυτό θα υπάρξει "θεωρητική ανάλυση των συμβολαίων αυτών, η παράθεση των μαθηματικών εννοιών του μοντέλου και η κατάληξη στην ομώνυμη εξίσωση του. Έπειτα θα αναλυθούν οι τρεις κυριότερες μέθοδοι επίλυσης της εξίσωσης που τιμολογεί το συμβόλαιο. Οι μέθοδοι αυτοί είναι, η Μέθοδος Monte Carlo, η μέθοδος Πεπερασμένων Διαφορών και η μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων.

Pricing options has been a major problem for the economic community since the start of contracts. For years their pricing has been done empirically and with incomplete mathe¬matical models. The first successful modeling came with the publication of Fisher Black and Myron Scholes in 1973 entitled "The Pricing of Options and Corporate Liabilities". Then Robert C. Merton was the first to publish a work that expanded the mathematical understanding of stock option pricing and was the first to mention the Black-Scholes O¬ptions Pricing Model. In 1993, Merton and Scholes received the Nobel Prize in economics in 1997 from the Swedish Academy for their discoveries. Black was mentioned as a contri¬butor by the Swedish Academy for his contributions as he had died earlier in 1995 (The Nobel Prize is not given posthumously). The publication of their work led to a rapid rise in the market for these contracts as it provided mathematical legitimacy for the Chicago stock exchange, which was the first to include stock option contracts in 1973. The aim of the thesis is to solve the Black-Scholes equation with the most modern numerical methods used in the practice. In order to do this, there will be a theoretical analysis of these contracts, mathematical concepts for asset pricing will be discussed so than we can arrive at Black Scholes model and Equation. Then we will analyze the three main methods of solving the equation and pricing the contract. These methods are Monte Carlo method, Finite Difference method, and Finite Element method.