Ανάλυση κύριων συνιστωσών και εφαρμογές

Abstract

Θεμελιώδες πρόβλημα της στατιστικής πολλών μεταβλητών είναι αυτό της οπτικοποίησης των πολυδιάστατων δεδομένων. Πολλά προγραμματιστικά εργαλεία, όπως π.χ. το matlab, περιλαμβάνουν βιβλιοθήκες που μας παρέχουν πληθώρα σχεδιαστικών δυνατοτήτων στις δύο και τρεις διαστάσεις. Όταν όμως υπάρχουν περισσότερες, τότε η διαδικασία της οπτικοποίησης των μεταξύ τους σχέσεων γίνεται πολύ περίπλοκη. Παρόλα αυτά, συνήθως, σε σύνολα πολυμεταβλητών δεδομένων, σχηματίζονται ομάδες μεταβλητών (κάθε μεταβλητή αποτελεί και μια διάσταση) που κυμαίνονται κατά παρόμοιο τρόπο. Υπάρχει, λοιπόν, ένας πλεονασμός στην πληροφορία τον οποίο μπορούμε να εκμεταλλευτούμε αντικαθιστώντας κάθε τέτοια ομάδα μεταβλητών με μία νέα μεταβλητή. Η μέθοδος κύριων συνιστωσών είναι μια ποσοτική μέθοδος με εφαρμογή της οποίας μπορεί να επιτευχθεί αυτή η απλοποίηση. Η μέθοδος αυτή δημιουργεί ένα νέο σύνολο μεταβλητών, που καλούνται κύριες συνιστώσες. Κάθε κύρια συνιστώσα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των γνήσιων μεταβλητών. Οι κύριες συνιστώσες είναι ανά δύο ορθογώνιες, εξαφανίζοντας κατ΄ αυτόν τον τρόπο κάθε πιθανή μεταξύ τους συσχέτιση. Το σύνολο των κύριων συνιστωσών παράγει μια ορθοκανονική βάση στο χώρο των δεδομένων.

Visualization of multivariate data constitutes a fundamental problem in multivariate statistics. Many programming tools exist, e.g. matlab, which contain relevant libraries for plotting two or three-dimensional views. However when there are more than three dimensions, then the process of vizualizing relationships between them becomes much more complex. Nevertheless it is usual for multivariate data sets that many variables (each individual variable is also a dimension) form groups moving in a similar manner. Therefore there is a redundancy of information, which we can take advantage of by substituting each group of variables with a single new variable thus simplifying the problem. Hence a new set of variables will arise, which is called principal components. Each principal component is a linear combination of the original variables. All the principal components are orthogonal to each other, and therefore redundant information is eliminated. The principal components as a whole form an orthogonal basis for the space of the data.