Η υπολογιστική μέθοδος Evaluation-Interpolation

Abstract

Στην παρούσα πτυχιακή εργασία μελετάται η υπολογιστική μέθοδος evaluation-interpolation, η οποία αποτελείται από τρία βήματα: Πρώτο βήμα είναι ο υπολογισμός του πλήθους των απαιτούμενων σημείων παρεμβολής, ανάλογα με το πρόβλημα. Δεύτερο βήμα είναι ο υπολογισμός των σταθερών τιμών του ζητουμένου του προβλήματος, στα παραπάνω σημεία. Τρίτο βήμα είναι η εύρεση του μοναδικού πολυωνύμου με παρεμβολή στις παραπάνω σταθερές τιμές. Στο τελευταίο αυτό βήμα γίνεται χρήση τεσσάρων μεθόδων παρεμβολής, δηλαδή των μεθόδων Newton, Lagrange και Hermite με πραγματικά σημεία παρεμβολής και της μεθόδου Newton με μιγαδικά σημεία παρεμβολής. Η μέθοδος evaluation-interpolation, ουσιαστικά, αντικαθιστά τις συμβολικές πράξεις με αριθμητικές πράξεις. Επίσης, επισημαίνουμε ότι υπολογίζει ακριβές αποτέλεσμα κι όχι προσέγγιση (ο υπολογισμός των σταθερών τιμών γίνεται με χρήση του αρχικού δεδομένου που είναι πολυωνυμικό). Η μέθοδος evaluation-interpolation, στο πλαίσιο της παρούσας πτυχιακής, εφαρμόζεται σε δύο συγκεκριμένα προβλήματα. Τον συμβολικό υπολογισμό της ορίζουσας ενός πολυωνυμικού πίνακα και τον συμβολικό υπολογισμό του αντιστρόφου ενός πολυωνυμικού πίνακα. Αναπτύσσονται δύο αντίστοιχοι αλγόριθμοι για τα προβλήματα αυτά σε κώδικα MATLAB®. Τέλος, εκτελούμε τους αλγόριθμους με συγκεκριμένα δεδομένα για να μετρήσουμε την απόδοσή τους. Με βάση αυτά γίνεται η σύγκριση των παραπάνω τεσσάρων μεθόδων.