Κατασκευή εργαλείου επίλυσης διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους με χρήση του λογισμικού πακέτου Matlab

Abstract

Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η μελέτη διαφορικών εξισώσεων και συγκεκριμένα διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους και η επίλυση τους με χρήση λογισμικού και συγκεκριμένα με χρήση του Matlab. Στο 1ο κεφάλαιο της εργασίας δίνονται οι βασικές έννοιες των διαφορικών εξισώσεων ενώ παρουσιάζονται οι βασικές κατηγορίες διαφορικών εξισώσεων 1ης και 2ης τάξης. Αρχικά δίνονται τα στοιχεία που αφορούν τις διαφορικές εξισώσεις 1ης τάξης. Αναλυτικότερα παρουσιάζονται οι βασικές μεθοδολογίες επίλυσης διαφορικών εξισώσεων χωριζόμενων μεταβλητών, γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης, πλήρων διαφορικών εξισώσεων καθώς και των ειδικών διαφορικών εξισώσεων του Bernoulli, Ricatti, Clairaut-Lagrange. Στο 2ο κεφάλαιο της εργασίας δίνονται οι βασικές έννοιες των διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους ενώ παρουσιάζονται οι βασικές κατηγορίες διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους 1ης και οι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους. Επίσης, δίνονται κάποια παραδείγματα για την καλύτερη κατανόηση των εννοιών. Στο 3ο κεφάλαιο της εργασίας δίνονται κάποια στοιχεία για τις βασικές εντολές του λογισμικού που θα χρησιμοποιηθεί και κυρίως δίνονται παραδείγματα με χρήση της διαδικασίας ode45 η οποία επιλύει μια μεγάλη γκάμα διαφορικών εξισώσεων. Στο τελευταίο κεφάλαιο παρουσιάζονται δύο πολύ βασικά παραδείγματα διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους. Το πρώτο πρόβλημα αφορά την διάδοση της θερμότητας και το δεύτερο πρόβλημα αφορά τη διάδοση του ωστικού κύματος. Και στα δύο παραδείγματα δίνεται ο αντίστοιχος αλγόριθμος βάση του οποίου επιτυγχάνεται η επίλυση.

The aim of this survey is the study of differential equations with partial derivatives and their solving using software specifically using Matlab. In 1st chapter we provide the basic concepts of differential equations and shows the main types of differential equations of 1st and 2nd class. Initially given the data on differential equations 1st order. More specifically presented the basic differential equations solving methodologies We present the methodologies corresponding to separable variables, linear differential equations of first order, complete differential equations and special differential equations of Bernoulli, Ricatti, Clairaut-Lagrange. In 2nd chapter we provide the basic concepts of differential equations with partial derivatives and the basic classes of differential equations with partial derivatives. Moreover, are presented the case of the linear differential equations with partial derivatives. Also, some examples for better understanding of the concepts are given. In 3rd chapter of the study are given some information about the basic commands of the software to be used. Furthermore, examples are presented using the procedure ode45 which solves a wide range of differential equations. The last chapter presented two very basic examples of differential equations with partial derivatives. The first problem concerns the distribution of heat and the second issue concerns the shock wave. In both examples given the corresponding algorithm based on which the resolution is achieved.